Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

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Integración 537 Problema 271 Un toro de masa m es generado cuando un círculo de radio a gira alrededor de un eje de su plano a una distancia b del centro (b > a). Hállese su momento de inercia respecto al eje de revolución. Si d(x,y,z) nos da la distancia de un punto (x,y,z), de la región R, a un recta ℓ, y δ(x,y,z) nos da la densidad del sólido en cada punto, el momento de inercia del sólido respecto a ℓ es Iℓ = (d(x,y,z)) 2 δ(x,y,z)dxdy dz R Supongamos ahora que el eje ℓ es OX; en este caso, la distancia de un punto al eje, coincide con la primera coordenada cilíndrica del punto, es decir, d(r cos θ,r senθ,z) = r. Por tanto, la mejor forma de evaluar la integral es efectuando el cambio a coordenadas cilíndricas y se tiene que: IOX = r 3 δ(r cos θ,r sen θ,z)dr dθ dz donde R ′ es la región R definida por coordenadas cilíndricas. R ′ El toro descrito en el enunciado se define por coordenadas cilíndricas por: θ ∈ [0,2π], z ∈ [−a,a] y b− √ a 2 − z 2 ≤ r ≤ b + √ a 2 − z 2 . Por tanto, su momento de inercia respecto de OX es: IOX = a √ b+ a2−z2 2π −a b− √ a 2 −z 2 0 r 3 dθ dr dz = = a a √ b+ a2−z2 −a b− √ a 2 −z 2 Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde −a 2πr 3 dr dz (4π(b 3 − ba 2 ) a 2 − z 2 + 4πbz 2 a 2 − z 2 )dz = 2π 2 a 2 (b 3 − ba 2 ) + π2 2 a4 b
Integración 538 (Las primitivas de los dos sumandos se obtienen con el cambio z → asen u) Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
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