Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

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El cuerpo de los números complejos 25 Por otra parte, trivialemente se tiene que Sumando las igualdades 1.3 y 1.4, obtenemos: y restándolas obtenemos: 2π (cos 0 2 nx + sen 2 2π nx)dx = 0 2π 0 2π Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde 0 2cos 2 nxdx = 2π 2sen 2 nxdx = 2π dx = 2π (1.4)
El cuerpo de los números complejos 26 Problema 16 1. Para x real, demostrar que podemos elegir log (x + i) y log (x − i) como log (x + i) = 1 2 log (1 + x2 ) + i π 2 − arctg x ; log (x − i) = 1 2 log (1 + x2 ) − i π 2 − arctg x 1 1 1 1 2. De la expresión: = − 1 + x2 2i x − i x + i dx 1 se obtiene, formalmente: = [log (x − i) − log (x + i)] 1 + x2 2i Utilizar la parte (a) para comprobar que esta solución concuerda con la usual. 1. 1 exp 2 log (1 + x2 π ) + i 2 = x 2 + 1 cos − arctg x = x2 π + 1 exp π − arctg x 2 − arctg x 2 π + isen − arctg x = 2 x2 x 1 + 1 √ + i√ = x + i x2 + 1 x2 + 1 Por tanto, efectivamente, se verifica la primera igualdad propuesta. La segunda igualdad se obtiene de forma análoga. 2. Restando las igualdades del apartado (a) se obtiene: 1 1 [log (x − i) − log (x + i)] = 2i 2i que es, efectivamente, una primitiva de la función Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde −2i 1 1 + x 2 π − arctg x = (arctg x) − 2 π 2
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