Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 198
Problema 106 Hallar el ángulo agudo que forma la curva polar r = acos θ/2 con el eje OY cada vez que lo corta
en un punto distinto del origen.
Dado que r = acos θ/2 = −asen((1/2)(θ − π)), la curva coincide con la de la curva r = asen θ/2 (página 192)
pero recorrida siguiendo las flechas 2-3-4-5-6-1-2.
A partir de las ecuaciones cartesianas de la curva polar, podemos obtener un vector tangente a cada punto y la
tangente del ángulo, α, que forma con el eje OY :
Para la curva del enunciado, se tiene
x(θ) = f(θ)cos θ y(θ) = f(θ)senθ
x ′ (θ) = f ′ (θ)cos θ − f(θ)senθ y ′ (θ) = f ′ (θ)sen θ + f(θ)cos θ
tg α = x′ (θ)
y ′ (θ) = f ′ (θ)cos θ − f(θ)senθ
f ′ (θ)sen θ + f(θ)cos θ
x ′ (θ) = − a θ θ
sen cos θ − acos
2 2 2 sen θ, y′ (θ) = − a θ θ
sen sen θ + acos cos θ
2 2 2
tg α = −a
θ
θ
2 sen 2 cos θ − acos 2 sen θ
− a
2
sen θ
2
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
sen θ + acos θ
2
cos θ