Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

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Optimización no-lineal 315 Problema 164 Hallar los valores máximo y mínimo de La función lagrangiana asociada al problema es f(x,y,z) = x − 2y + 5z en la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 30 L(x,y,z,λ) = x − 2y + 5z − λ(x 2 + y 2 + z 2 − 30) El sistema de ecuaciones que nos da los puntos críticos es x 2 + y 2 + z 2 − 30 = 0 1 − 2λx = 0 −2 − 2λy = 0 5 − 2λz = 0 Las soluciones de este sistema son los puntos (1, −2,5) con λ = 1/2 y (−1,2, −5) con λ = −1/2. Para clasificar los puntos consideramos las funciones F1(x,y,z) = L(x,y,z,1/2) = x − 2y + 5z − (1/2)(x 2 + y 2 + z 2 − 30) F2(x,y,z) = L(x,y,z, −1/2) = x − 2y + 5z + (1/2)(x 2 + y 2 + z 2 − 30) Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
Optimización no-lineal 316 La matrices hessianas de estas funciones son: ⎛ −1 ⎜ HF1(x,y,z) = ⎝ 0 0 −1 0 0 ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎞ 1 0 0 ⎜ ⎟ HF2(x,y,z) = ⎝ 0 1 0 ⎠ 0 0 −1 0 0 1 La forma cuadrática asociada a HF1 es definida negativa sobre R 3 y en particular sobre cualquier subespacio; por tanto, (1, −2,5) es máximo. Análogamente, la forma cuadrática asociada a HF2 es definida positiva sobre cualquier subespacio y, por tanto, el punto (−1,2, −5) es mínimo. Si el estudio del signo de las formas cuadráticas es sencillo, como en este caso, puede ahorrarnos tiempo. Esta simplificación solo es posible cuando la forma, sobre R 3 , es definida negativa o positiva; si la forma fuera semidefinida o indefinida, tendríamos que realizar el estudio de la forma cuadrática restringida. Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
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