Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Cálculo en varias variables 252
Problema 128 En los siguientes apartados, esbozar la curva de nivel de f(x,y) que pasa por el punto P0 y hallar
el vector normal a la curva en P0:
a) f(x,y) = x 2 /3 + 3y 2 /4, P0(2,2 √ 5/3)
b) f(x,y) = x 2 − y, P0(1,0)
Recordemos que un vector normal a una curva de nivel en un punto, viene dado por el gradiente de la función en
dicho punto; teniendo en cuenta esto, basta calcular el gradiente de las funciones en los puntos dados para obtener
los vectores pedidos. En la figura 5.4 aparecen representadas las gráficas de las dos funciones así como las curvas de
nivel pedidas y las rectas tangente y normal en el punto indicado.
a) f(x,y) = x 2 /3 + 3y 2 /4, P0(2,2 √ 5/3):
b) f(x,y) = x 2 − y, P0(1,0).
D1f(x,y) = 2
3 x D2f(x,y) = 3
2 y ∇f(2,2√ 5/3) = ( 4
3 , √ 5)
D1f(x,y) =
x
x 2 − y
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
D2f(x,y) =
−1
x 2 − y
∇f(1,0) = (1, − 1
2 )