Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Optimización no-lineal 322
Problema 168 Calcular el valor máximo de f(x,y,z) = x 2 + 2y − z 2 sujeto a las restricciones 2x − y = 0 e
y + z = 0.
La función lagrangiana asociada al problema es
y el sistema de ecuaciones que nos da los puntos críticos
2x − y = 0
y + z = 0
2x − 2λ = 0
2 + λ − µ = 0
−2z − µ = 0
L(x,y,z,λ,µ) = x 2 + 2y − z 2 − λ(2x − y) − µ(y + z)
La única solución de este sistema es el punto (2/3,4/3, −4/3), con λ = 2/3 y µ = 8/3. Consideremos la función
La matriz hessiana de esta función es
F(x,y,z) = L(x,y,z,2/3,8/3) = x 2 + 2y − z 2 − (2/3)(2x − y) − (8/3)(y + z)
HF(x,y,z) =
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
⎛
⎜
⎝
2 0 0
0 0 0
0 0 −2
⎞
⎟
⎠