Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Sucesiones y series numéricas 55
desigualdades:
ck < 1
2
(ck) 2 < 1
4
a + (ck) 2 < a + 1 1 1
< +
4 4 4
ck+1 < 1
2
Por lo tanto, efectivamente la sucesión cn está acotada superiormente por 1/2. En consecuencia, la sucesión es
convergente y su límite también es menor que 1/2, es decir, ℓ = lím cn = 1 − √ 1 − 4a
. En resumen:
2
⎧
⎨1
−
lím cn =
⎩
√ 1 − 4a
si 0 < a ≤
2
1/4
+∞ si a > 1/4
4. Evaluando algunos términos de la sucesión, observamos que no es monótona pero que las subsucesiones de los
términos pares y la de los impares sí son monótonas; concretamente, observamos que se verifican las siguientes
desigualdades:
d2n+1 < d2n+3 < d2n+4 < d2n+2 para todo n ∈ N
Probadas estas desigualdades podremos deducir que la subsucesión d2n es decreciente y acotada inferiormente
por d1 = 0 y que la subsucesión d2n+1 es creciente y acotada superiormente por d2 = 1. Pasamos a demostrar
las desigualdades por inducción:
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde