Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Sucesiones y series funcionales 148
Problema 78 Vamos a estudiar la convergencia de la serie de potencias:
1 + 1
n2 (1 + x)
n
n
Por el criterio de la raiz deducimos que el radio de convergencia es r = 1/e; para establecer si la serie converge en
los extremos tenemos que estudiar las series
1
en
1 + 1
n2 (−1) n
n
en
1 + 1
n2 n
Ninguna de las dos series converge; lo demostramos usando la condición necesaria de convergencia:
lím 1
en
1 + 1
n2
= lím exp −n + n
n
2
n + 1
log = e
n
−1/2 = 0
ya que:
lím −n + n 2 1
n + 1 − n log = lím
n
+ log 1 + 1
n
1
n2 = − 1
2
ya que:
−x + log(1 + x)
lím
x→0 x2 = − 1
2
Aunque no es significativo para el estudio de la serie, es fácil comprobar que la serie de términos positivos es
decreciente:
an+1
= 1
n2 + 2n
e n2 n2 n
n+1
2
+ 2 n + 1 1 1
<
+ 2n + 1 n + 1 n + 2 e e e2 · 1 = 1
an
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde