Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Optimización no-lineal 324
Problema 169 (a) Hallar el valor máximo de w = xyz entre todos los puntos pertenecientes a la intersección de
los planos x + y + z = 40 y z = x + y.
(b) Argumentar geométricamente el hecho de que haya resultado un valor máximo (y no un mínimo) de xyz sujeto
a las restricciones.
(a) La función lagrangiana asociada al problema es
L(x,y,z,λ,µ) = xyz − λ(x + y + z − 40) − µ(z − x + y)
y el sistema de ecuaciones que nos da los puntos críticos
x + y + z − 40 = 0
z − x + y = 0
yz − λ + µ = 0
xz − λ − µ = 0
xy − λ − µ = 0
La única solución de este sistema es el punto (20,10,10), con λ = 150 y µ = 50. Consideremos la función
F(x,y,z) = L(x,y,z,150,50) = xyz − 150(x + y + z − 40) − 50(z − x + y)
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde