Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

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Sucesiones y series numéricas 55 desigualdades: ck < 1 2 (ck) 2 < 1 4 a + (ck) 2 < a + 1 1 1 < + 4 4 4 ck+1 < 1 2 Por lo tanto, efectivamente la sucesión cn está acotada superiormente por 1/2. En consecuencia, la sucesión es convergente y su límite también es menor que 1/2, es decir, ℓ = lím cn = 1 − √ 1 − 4a . En resumen: 2 ⎧ ⎨1 − lím cn = ⎩ √ 1 − 4a si 0 < a ≤ 2 1/4 +∞ si a > 1/4 4. Evaluando algunos términos de la sucesión, observamos que no es monótona pero que las subsucesiones de los términos pares y la de los impares sí son monótonas; concretamente, observamos que se verifican las siguientes desigualdades: d2n+1 < d2n+3 < d2n+4 < d2n+2 para todo n ∈ N Probadas estas desigualdades podremos deducir que la subsucesión d2n es decreciente y acotada inferiormente por d1 = 0 y que la subsucesión d2n+1 es creciente y acotada superiormente por d2 = 1. Pasamos a demostrar las desigualdades por inducción: Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
Sucesiones y series numéricas 56 (i) Para n = 1: d1 = 0 < 1 2 = d3 < 3 4 = d4 < 1 = d2 (ii) Supongamos que d2k−1 < d2k+1 < d2k+2 < d2k; tenemos que probar que d2k+1 < d2k+3 < d2k+4 < d2k+2 y lo hacemos con la siguiente secuencia de desigualdades d2k+1 < d2k+2 d2k+1 < d2k+1 + d2k+2 2 d2k+1 < d2k+3 < d2k+2 < d2k+2 d2k+1 < d2k+3 < d2k+3 + d2k+2 2 d2k+1 < d2k+3 < d2k+4 < d2k+2 (Téngase en cuenta que si 0 < a < b, entonces a < d2k+1 < d2k+3 < d2k+4 < d2k+2 a + b 2 < b). < d2k+2 Por lo tanto, quedan probadas las desigualdades para cada n ∈ N. Podemos concluir entonces que las subsucesiones d2n y d2n+1 son convergentes. Por el ejercicio 19, la sucesión dn será convergente si y solo si lím d2n = lím d2n+1, lo cual es cierto: si ℓ1 = lím d2n+1 y ℓ2 = lím d2n, entonces, ℓ1 = ℓ2 + ℓ1 la expresión, se obtiene que ℓ1 = ℓ2. Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde 2 y, simplificando
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Ejercicios resueltos de CÁLCULO Ag
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Introducción Notación de ejercici
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El cuerpo de los números complejos
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Optimización no-lineal 304 Este pr
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Optimización no-lineal 326 y exist
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Integración 328 Problema 170 Usar
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