Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Sucesiones y series numéricas 41
Problema 24 Utilizar la constante de Euler para calcular los siguietnes límites.
1. lím e√e 3√ e... n√ e
n
3. lím 1 + 1
1
+ · · · +
3 2n + 1
La constante de Euler, γ, se define como:
γ = lím
2. lím
log(1 + 1
1 + 1
1 1
+ + · · · + − log n
2 3 n
2
+ · · · + 1
n )
log(log n)
4. lím 1 1 1
+ + · · · +
n + 1 n + 2 n + n
y sabemos que es un número real estrictamente positivo y estrictamente menor que 1. Podemos usar este límite
como herramienta de cálculo para otros límites a través de las siguientes propiedades:
1 + 1 1 1
2 + 3 + · · · + n = γ + cn + log n, en donde cn es un infinitésimo.
1 + 1 1 1
2 + 3 + · · · + n
y log n son infinitos equivalentes.
En los casos en los que no se pueda aplicar la sustitución de infinitos equivalentes, podremos usar la primera
propiedad; en particular, ninguno de los cuatro límites aquí propuestos puede resolverse mediante la sustitución de
infinitos. Sin embargo, en el segundo apartado vamos a utilizar la equivalencia aunque sin realizar la sustitución
explícitamente.
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde