Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Sucesiones y series numéricas 74
Problema 41 Consideremos la serie
demostrar que entonces:
1. Si q − p ≤ 1 la serie diverge.
2. Si q − p > 1 la serie converge
∞ P(n)
donde P y Q son dos polinomios de grados p y q respectivamente;
Q(n)
n=1
El resultado es consecuencia del criterio de comparación, ya que la serie propuesta tiene el mismo carácter que la
serie (q − p)-armónica, 1
nq−p. Debemos observar, sin embargo, que podemos aplicar el criterio de comparación;
teniendo en cuenta que la serie es un cociente de polinomios, podemos concluir que numerador y denominador tienen
signo constante a partir de un natural N, cualquier natural mayor que todas las raíces de los polinomios P y Q. Por
lo tanto, el cociente es siempre positivo o siempre negativo a partir de este natural N, y podemos aplicar el criterio
de comparación.
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde