Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Integración 495
Problema 252 Evaluar las siguientes integrales triples:
(a)
(b)
R
R
(x 2 + y 2 + z 2 )dV , donde R es la región acotada por x + y + z = a (con a > 0), x = 0, y = 0, y z = 0.
z dV , donde R es la región acotada por los planos x = 0, y = 0, z = 0, z = 1 y el cilindro x 2 + y 2 = 1,
con x,y ≥ 0.
(c) (1 − z 2 )dV , donde R es la pirámide de vértice superior en (0,0,1) y los vértices de la base en (0,0),
R
(1,0), (0,1) y (1,1).
(d)
R
(x 2 + y 2 )dV , donde R es la pirámide anterior.
Para evaluar las integrales triples usando el teorema de Fubini, debemos en primer lugar establecer el orden de
integración adecuado. En algunos casos no será posible utilizar cualquier orden y cuando sea posible utilizar más
de uno, habrá que elegir el que conduzca a las integrales más sencillas. Para establecer el orden de integración y
determinar los límites se puede seguir el siguiente proceso:
En primer lugar elegimos una sección perpendicular a un eje; la variable correspondiente a este eje nos dará la
integral más externa (la última en evaluar) y el rango de la variable determina los límites de integración. De esta
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde