Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Sucesiones y series numéricas 67
x
3. Estudiamos el lím
x→0
1 − sen 1
usando la caracterización secuencial; vamos determinar dos sucesiones conver-
x
gentes a 0 y contenidas en el dominio de la función, pero cuyas imágenes tienen límites distintos.
f(x) =
x
1 − sen 1
x
Dom(f) = R ∗
π
2
−1
+ 2πn ,n ∈ Z
−1 −1 3π
π 1
Consideremos las sucesiones an = + 2πn y bn = + 2πn − que son convergentes a 0 y están
2 2 n
contenidas en el dominio de f. En primer lugar tenemos que
Y por otra parte:
lím f(bn) = lím
(∗)
= lím
= lím
límf(an) = lím
2
= 0
π(3 + 4n)(1 − sen 3π2/2)
1
π 1 π 1
+ 2πn − 1 − sen + 2πn −
2 n 2 n
1
π
+ 2πn −
1
2 n
1 − cos 1
n
4n3 4πn2 = +∞
+ 3πn − 2
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
(∗∗)
= lím
1
π
+ 2πn −
1 1
2 n 2n2