Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Sucesiones y series numéricas 87
2. 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1)
es divergente, según establece el criterio de Raabe:
2 · 4 · · · (2n)
1 · 3 · 5 · · · (2n + 1) 2 · 4 · · · (2n)
2n + 1
lím n 1 − = lím n 1 − = lím
2 · 4 · · · (2n + 2) 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1)
2n + 2
n 1
=
2n + 2 2
Obsérvese que por el cálculo realizado, podemos concluir que la serie es hipergeométrica.
3. 1 + 1 1
2 + · · · + n
n3 es convergente. La forma de la serie hace que los criterios del cociente, de la raíz o de
condensación no sean adecuados; usaremos el criterio de comparación.
1 + 1 1
+ · · · +
2 n
n3 < 1 + · · · + 1
n 3
= n 1
n3 =
n2 Dado que la serie mayorante es convergente, la serie propuesta también.
Podemos usar también infinitos equivalentes para deducir que la serie propuesta tiene el mismo carácter que
log n
n3 ; el criterio de condensación permite deducir fácilmente la convergencia de esta serie.
4. 2 + 4 + 8 + · · · + 2 n
3 n
es convergente. Podemos decidirlo de dos formas:
En primer lugar, podemos observar que la sucesión del numerador es la suma parcial n-ésima de una
serie geométrica y por tanto:
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
2 + 4 + 8 + · · · + 2 n
3 n
= 2 n+1 − 2
3 n