Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Integración 512
(b) La región donde se integra son los puntos comprendidos entre el cono z = x 2 + y 2 y el plano XY que
verifican −2 ≤ x ≤ 2 y x 2 + y 2 ≤ 4; esta región en coordenadas cilíndricas queda definida por: 0 ≤ r ≤ 2,
0 ≤ θ ≤ π/2 y 0 ≤ z ≤ r. Por tanto, la integral se evalua como sigue:
2 √ 4−x2 −2
− √ 4−x 2
√ x2 +y2 z dz dy dx =
0
2 π/2 r
0
0
0
zr dz dθ dr
=
2 π/2
0
0
1
2 r3 2 π
dθ dr =
0 4 r3 dr = π
Una forma bastante conveniente de interpretar lo que hemos hecho es la que se muestra en la figura 7.5 y
que se enuncia: la aplicación g(r,θ,z) = (r cos θ,r sen θ,z) (cambio de coordenadas a cilíndricas) transforma la
región formada por los puntos comprendidos entre el plano ΘR y el plano Z = R con r ∈ [0,2] y θ ∈ [0,π/2]
en la región donde queremos integrar.
Esta interpretación siempre debe tenerse en cuenta ya que, como aquí ocurre, la región de la izquierda puede
no ser un cubo, y en tal caso tenemos que utilizar las técnicas de los ejercicios anteriores para establecer el
orden de integración y los intervalos.
(c) La región está formada por los puntos comprendidos entre el plano Y Z y el paraboloide x = 1 + y 2 + z 2 que
verifican que z 2 + y 2 ≤ 2. En primer lugar observamos que esta región es un sólido de revolución y que OX
es su eje de giro; por tanto, vamos a renombrar las variables de tal forma que el eje de giro de la figura sea
OZ; de esta forma, el cambio a coordenadas cilíndricas será realmente útil. Una vez hecho esto, el ejercicio es
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde