Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Sucesiones y series numéricas 30
Problema 19 Sea an un sucesión. Una sucesión bn se dice que es una subsucesión de an si existe una función
estrictamente creciente, f : N → N tal que bn = a f(n). Demostrar las siguientes propiedades:
1. Si bn es una subsucesión de an y lím an = ℓ ∈ R, entonces lím bn = ℓ.
2. Si bn y cn son dos subsucesiones de an tales que {bn} ∪ {cn} = {an} y lím bn = ℓ = lím cn, entonces lím an =
ℓ ∈ ¯ R.
1. Supongamos que ℓ ∈ R. Sea f : B ⊆ N → N una aplicación estrictamente creciente y tal que bn = a f(n). Sea
ε > 0 y N ∈ N tal que |an − ℓ| < ε para todo n ≥ N. Dado que f es estrictamente creciente, existirá un
N1 ∈ B tal que f(N1) > N y por lo tanto, |bn − ℓ| = |a f(n) − ℓ| < ε para todo n ≥ N1; en consecuencia,
lím bn = ℓ.
2. Sean f : B ⊆ N → N y g: C ⊆ N → N dos aplicaciones crecientes tales que bn = a f(n) y cn = a g(n). Sea
ε > 0; por las hipótesis, existen dos naturales N1 ∈ B y N2 ∈ C tales que |bn − ℓ| < ε y |cn − ℓ| < ε.
Sea N = máx{f(N1),f(N2)} y n ≥ N; dado que {bn} ∪ {cn} = {bn}, se verifica una de las dos situaciones
siguientes:
an ∈ {bn} y en tal caso existe m tal que n = f(m); por ser f creciente, m ≥ N1 y
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
|an − ℓ| = |a f(m) − ℓ| = |bm − ℓ| < ε