Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Sucesiones y series numéricas 51
Problema 30 Justificar que las siguientes sucesiones son convergentes y calcular sus límites
1. a1 = 3, an+1 = √ 1 + an
2. b1 = √ 2, bn+1 = 2 √ bn
3. c1 = a > 0, cn+1 = a + (cn) 2
4. d1 = 0, d2 = 1, dn+2 = dn+1 + dn
2
1. Evaluando algunos términos de la sucesión an, podemos intuir que es decreciente. La demostración la hacemos
por inducción; tenemos que probar que an > an+1 para todo n ∈ N.
(i) Para n = 1: a1 = 3 > 2 = √ 1 + 3 = a2
(ii) Supongamos que ak > ak+1; tenemos que probar que, entonces, ak+1 > ak+2. La siguiente secuencia de
desigualdades completa la prueba:
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
ak > ak+1
1 + ak > 1 + ak+1
√ 1 + ak > 1 + ak+1
ak+1 > ak+2