Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Optimización no-lineal 310
Por otra parte, dado que f es homogénea de grado p, se tiene que
g(λ) = λ p f((x1,...,xn);
a partir de esta expresión volvemos a obtener la derivada de g:
De donde se obtiene que
g ′ (λ) = pλ p−1 f((x1,...,xn)
De las igualdades 6.1 y 6.2 se deduce la propuesta en el ejercicio.
g ′ (1) = pf((x1,...,xn) (6.2)
(b) Sea λ ≥ 0 (esta restricción se debe al dominio impuesto a f; en un dominio más amplio la función no sería
homogénea: ¿Por qué?)
f(λx,λy,λz) = λx − 2λy − √ λ 2 xz
= λ(x − 2y − √ xz)
Por tanto, efectivamente, la función es homogénea de grado 1. Verifiquemos el teorema de Euler:
xD1f(x,y,z) + yD2f(x,y,z) + zD3f(x,y,z) = x(1 − z
2 √ x
) − 2y + z
xz 2 √ xz
= x − 2y − 2zx
2 √ xz
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
= x − 2y − √ xz = f(x,y,z)