Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Sucesiones y series funcionales 117
Problema 60 Desarrollar en serie de potencias de x la función x2 + x
(1 − x) 3 y determinar su radio de convergencia.
Como ya hemos comprobado en varias ocasiones, la mejor forma de manejar las funciones racionales es descomponiendolas
en otras más simples (ver ejercicio 7.3):
x2 + x 1
(1 − x) 3 = −
x − 1 −
3
−
(x − 1) 2
2
(x − 1) 3
A partir de aquí, y usando las propiedades de las series de potencias, podemos hacer el desarrollo:
f(x) = 1
1 − x =
−
−
3
∞
n=0
x n
(x − 1) 2 = 3f ′ (x) = 3
2
|x| < 1
∞
nx n−1 ∞
= 3 (n + 1)x n
n=1
(x − 1) 3 = −f ′′ (x) = −
Y sumando las tres igualdades,
n=0
∞
(n + 2)(n + 1)x n
n=0
x2 + x
(1 − x) 3 =
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
|x| < 1
|x| < 1
∞
n 2 x n , |x| < 1
n=0