Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Sucesiones y series numéricas 82
Sin embargo, del cálculo realizado deducimos que:
an+1
an
= lím
4(n + 1) 2
(2n + 2)(2n + 1) = lím 4n2 + 8n + 4
4n2 > 1
+ 6n + 2)
y en consecuencia la sucesión es creciente y no puede converger a 0. Podemos deducir esto directamente usando
la fórmula de Stirling:
lím (n!)2 · 4 n
(2n)! = lím (nn e −n√ 2πn) 2 4 n
(2n) 2n e −2n√ 2π2n = lím 2n2n e −2n πn4 n
2 · 4 n n 2n e −2n√ πn = lím √ πn = +∞
3. (a + 1) · · · (a + n)
; estudiamos el carácter según el valor de a:
n!
Si a es un entero negativo no nulo, a partir del lugar N = −a, todos los términos se anulan, y por tanto
la serie es una suma finita.
Para a = 0 la serie es 1 · 2 · · · n
=
n!
1, y por tanto divergente.
Solo nos queda estudiar el carácter para a ∈ Z− ∪ {0}; el criterio del cociente no decide el carácter,
lím an+1
an
= lím
(a + 1) · · · (a + n)(a + n + 1) n!
(n + 1)! (a + 1) · · · (a + n)
= lím
n + a + 1
n + 1
pero la simplificación permite deducir que se trata de una serie hipergeométrica, que es convergente si y
solo si a < −1.
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
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