Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Sucesiones y series numéricas 70
xn
xn−1
= 3n − 2
< 1;
3n − 1
yn
yn−1
= 3n − 4
< 1;
3n − 3
zn
zn−1
= 3n − 3
< 1
3n − 2
Si lím xn = ℓ1, lím yn = ℓ2, lím zn = ℓ3, entonces ℓ1ℓ2ℓ3 = 0 y por tanto, uno de los tres límites es nulo.
n
Teniendo en cuanta el crecimiento de la sucesión , deducimos las siguientes desigualdades:
n + 1
xn < yn < zn < 2xn
Y por tanto, si una converge a cero, las demás también, en particular, líman = 0.
2. El calculo del apartado anterior se puede generalizar a cualquier par de naturales k y m. La sucesión bn =
k − m
se escribe como producto de k sucesiones decrecientes y acotadas y en consecuencia convergentes
nk − m + 1
a 0; entre ellas se encuentra la sucesión estudiada e igual que antes, la convergencia a 0 de una de ella permite
concluir que todas las demás tambien convergen a 0.
a(a + 1) · · · (a + (n − 1))
3. Sea an =
n!
tal que a < 1 − 1
k ; entonces:
= a a + 1
· · ·
1 2
an = a a + 1 a + (n − 1)
· · · <
1 2 n
1 − 1
a + (n − 1)
n
k
1
2 − 1
k · · ·
2
, 0 < a < 1; sea k ∈ N tal que 1 − a > 1
k , es decir,
n − 1
k
n
k − 1 2k − 1 nk − 1
= · · ·
k 2k nk
La sucesión mayorante es la estudiada en el apartado anterior para m = 1 y, en consecuencia, es convergente
a 0, por lo que el límite de an es también 0.
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde