Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Ecuaciones diferenciales ordinarias 583
horizontal de esta tensión es la misma en cada punto, T = T(x)sen θ(x), ya que no actúa ninguna fuerza externa
en ningún punto del cable, sin embargo, la componente vertical es distinta, ya que coincide con el peso de la cuerda
que queda por debajo de dicho punto. Es decir, el valor de esta componente vertical es igual al peso de la cuerda
desde su extremo izquierdo, P(x), menos la tensión vertical que ejerce el poste izquierdo, T0; si δ es la densidad
lineal, el valor de esta tensión es:
x
T(x)sen θ(x) = P(x) − T0 = δ 1 + (y ′ (t)) 2dt − T0
Dividiendo las expresiones que determinan las dos componentes de la tensión, obtenemos la siguiente igualdad:
y ′ (x) = senθ(x)
cos θ(x)
= δ
T
x
0
0
1 + (y ′ (t)) 2 dt − T0
T
y derivando ambos miembros, obtenemos la ecuación diferencial que describe la curva buscada:
y ′′ (x) =
sen θ(x)
cos θ(x)
Esta ecuación es una ecuación en variables separables en y ′ ,
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
δ
= 1 + (y ′ (x)) 2
T
y ′′
1 + (y ′ ) 2
= δ
T
arg senh y ′ = δ
x + C1
T
y ′
δ
= senh x + C1
T
y = T
δ cosh
δ
x + C1 + C2
T
y por lo tanto: