Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Sucesiones y series funcionales 111
Problema 57 Comprobar que la serie
∞
x4n−1 converge uniformemente en todo intervalo cerrado contenido en
4n − 1
n=1
(−1,1). Aplicar este hecho para demostrar que su suma vale
1 1 + x 1
log − arctg x
4 1 − x 2
El teorema ?? nos dice que una serie de potencias converge uniformemente en cualquier intervalo cerrado
contenido en su campo de convergencia. Por tanto, el problema quedará resuelto si demostramos que el campo de
convergencia es (−1,1).
Si hacemos la identificación
∞
amx m =
m=0
∞ x4n−1 n=1
4n − 1
deducimos que la sucesión de coeficientes es la siguiente:
⎧
⎨ 1
si m = 4n − 1
am = m
⎩
0 en otros casos
Por tanto, no podemos aplicar la proposición ??, ya que el cociente am
am+1
m √ am no es convergente.
Aplicamos, entonces, el criterio del cociente a la serie de potencias:
lím
x
4n+3 4n − 1
4n + 3 x4n−1
= |x4 |
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
no está definido para todo m, y la sucesión