Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Sucesiones y series numéricas 103
El término general de la serie no tiene sentido si b ∈ Z − ∪ {0}.
Si a ∈ Z − ∪ {0}, la serie es constantemente nula y, en consecuencia, convergente a 0.
Si a,b ∈ Z − ∪ {0}; en este caso la serie es hipergeométrica,
a(a + 1) · · · (a + n)(a + n + 1)
b(b + 1) · · · (b + n)(b + n + 1)
b(b + 1) · · · (b + n)
a(a + 1) · · · (a + n)
y es convergente si y solo si b > a + 1, caso en el que calculamos la suma:
= n + a + 1
n + b + 1
(2 + b)a2 + · · · + (n + b)an + (n + 1 + b)an+1 = (2 + a)a1 + (3 + a)a2 + · · · + (n + 1 + a)an
∞
n=1
a(a + 1) · · · (a + n)
b(b + 1) · · · (b + n)
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
(n + 1 + b)an+1 = (2 + a)a1 + (1 + a − b)a2 + · · · + (1 + a − b)an
(n + 1 + b)an+1 = (1 + b)a1 + (1 + a − b)Sn
(n + 1 + b)an+1
= lím
−
1 + a − b
(1 + b)a(a + 1)
=
(1 + a − b)b(b + 1)
a(a + 1)
b(b − a − 1)