Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

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Integración 475 Debemos recordar que si la región de integración no es un rectángulo, la integral se define como: f(x,y)dxdy = f(x,y)dxdy D en donde R es un rectángulo que contiene a D y el campo f se define como: f(x,y) = f(x,y) si (x,y) ∈ D y f(x,y) = 0 si (x,y) ∈ D. La figura de arriba muestra la región de integración D, el rectángulo [−2,2] × [0,4] que contiene a dicha región y la partición descrita en el enunciado. La parte sombreada corresponde a las subintervalos de la partición que tocan a la región D, de tal forma que los sumandos de la correspondiente suma de Riemann pueden tomar un valor no nulo; los puntos resaltados, son los puntos elegidos para la suma de Riemann y que estan contenidos en la región D. Dado que el área de cada cuadrado es 1/4, la suma de Riemann pedida es: R = 1 4 i,j R f(x ∗ i,x ∗ j) Es fácil observar que esta suma vale 0, puesto que: para los puntos tales que x∗ i = 0, la función vale 0 y para el resto de los puntos se verifica que f(x∗ i ,y∗ j ) = −f(x∗ i ′ y en consecuencia los sumandos se anulan dos a dos. Las mismas observaciones de simetría de la región de integración y de la función permiten concluir que la integral de la función vale 0. Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
Integración 476 Problema 241 1. Considerar la región R limitada por la gráfica de (x − 3) 2 + y 2 = 9. ¿Representa la integral doble R (x + 5y)dxdy un volumen? Explíquese. 2. Considerar la región R del segundo cuadrante limitada por las gráficas de −2x + y = 6, x = 0, e y = 0. ¿Representa la integral doble (x 2 + y 2 )dxdy un volumen? Explíquese. 1. La integral R R (x + 5y)dxdy en la región R ≡ (x − 3) 2 + y 2 = 9 no representa un volumen, ya que la función toma valores positivos y valores negativos dentro de dicha región. 2. En este caso, la integral R (x 2 + y 2 )dxdy en la región R descrita en el enunciado sí corresponde al volumen comprendido entre la gráfica de la campo escalar y el plano XY , ya que la función es positiva en toda la región. Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
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