Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Integración 463
Problema 230 Determínese el centroide de la región del primer cuadrante acotada por dos círculos concéntricos
y los ejes coordenados, si los primeros tienen radios a y b, b > a > 0, y sus centros están en el origen. Hállense
también los límites de las coordenadas del centroide cuando ‘a’ tiende a ‘b’, y analícese el significado del resultado.
Por la simetría del sector de la corona, se deduce que los dos momentos son iguales:
My = Mx = 1
2
b
0
A = π
4 b2 − a 2
¯x = ¯y = 4
3π
(b 2 − x 2 )dx − 1
2
b 2 + ab + a 2
b + a
a
0
(a 2 − x 2 )dx = b3
3
Si ahora hallamos el límite de las coordenadas ¯x y ¯y cuando ‘a’ tiende a ‘b’, obtendremos el centro de masas del
arco de circunferencia:
x ′ = y ′ 4 b
= lím
a→b 3π
2 + ab + a2 =
b + a
2a
π
Obsérvese que este centroide es exterior a la curva.
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
− a3
3