Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Sucesiones y series numéricas 46
Problema 27 Calcular el límite lím nα
en para todo α ∈ R.
Para α ≤ 0 el cálculo es inmediato:
lím nα 1
en = lím
n−α
1
en = = 0
∞
Supongamos que α > 0 y consideremos la función E(x) que devuelve la parte entera de x:
lím nα
en = lím (n + 1)α − nα en+1 − en = lím αnα−1
(e − 1)e n
= lím α n
e − 1
α−1
en (Criterio de Stöltz-Cesaro)
(Equivalencia de infinitos: ej. 17)
(Aplicamos E(α)–veces el Criterio de Stöltz-Cesaro)
= lím
α(α − 1)... (α − E(α))
(e − 1) E(α)+1
n α−E(α)−1
= 0 (Ya que α − E(α) − 1 < 0)
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
e n