Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Sucesiones y series funcionales 147
Problema 77 Hallar el campo de convergencia de las siguientes series:
∞
(−1) nα xn n=0
n
∞
α n
n=0
Recordemos que la importancia del límite 37(3) está en que permite afirmar la siguiente igualdad:
2 α ∞
α
=
α > −1
n
n=0
ya que si α > −1, podemos encontrar una constante a con 0 < a < 1 y un polinomio P(n) tales que tal que α n =
(−1) n
a(a+1)···(a+(n−1))
P(n) n! = a a+1
1 2 · · · a+(n−1)
n . Por otra parte, si α < −1, se verifica que α
n = (−1) n a(a+1)···(a+(n−1))
n! =
donde a > 1, y por lo tanto, su límite no es 0.
a
1
a+1
2 · · · a+(n−1)
n
El teorema de Abel y el estudio anterior nos lleva a completar la determinación del campo de convergencia de
∞ α
la serie binomia; para la serie xn con α ∈ {−1,0,1}
n=0
Si α > 0: converge para x ∈ [−1,1]
Si −1 < α < 0: converge para x ∈ (−1,1]
Si α < −1: converge para x ∈ (−1,1)
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
n
x n