Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 161
Problema 85 Sea x = acos t + b e y = asen t + d, a > 0; probar que la velocidad de recorrido es constante y que
la longitud de la curva en [t0,t1] es igual a la velocidad multiplicada por el tiempo (t1 − t0).
La curva propuesta es una circunferencia de radio a y centro en (b,d)). La coordenadas del vector velocidad en
cada instante, v(t) = (x ′ (t),y ′ (t)), son:
x ′ (t) = −asen t y ′ (t) = acos t
Por tanto, la velocidad de recorrido, es decir, el módulo del vector velocidad en cada instante es:
||v(t)|| = [x ′ (t)] 2 + [y ′ (t)] 2 = a 2 sen 2 t + a 2 cos 2 t = a
Por tanto, la longitud de la curva (circunferencia) entre los instantes t0 y t1 es:
t1
t0
||v(t)||dt =
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
t1 at
t0
= a(t1 − t0)