Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Cálculo en varias variables 261
Problema 133 Para la función f(x,y) = x 2 y + 2y 2 x, en el punto P0(1,3), hallar
a) la dirección de mayor crecimiento en f,
b) la derivada de f en la dirección de mayor crecimiento en f,
c) las direcciones en las que la derivada de f es cero,
d) la ecuación del plano tangente a la superficie z = f(x,y) en (1,3,21).
a) La dirección de mayor crecimiento corresponde a la dirección del vector gradiente:
D1(x,y) = 2xy + 2y 2
D2(x,y) = x 2 + 4yx ∇f(1,3) = (14,13)
b) Si u es el vector unitario en la dirección y sentido del vector gradiente, la derivada de f en la dirección u es
Duf(1,3) = ||∇f(1,3)|| = 14 2 + 13 2
c) Si v = (v1,v2) es un vector unitario, Dvf(1,3) = ∇f(1,3) · v = 14v1 + 13v2. Por tanto, la derivada direccional
se anula en la dirección del vector (−13,14).
d) El plano tangente a la superficie z = f(x,y) en (1,3,21) es perpendicular al vector (D1f(1,3),D2f(1,3), −1) =
(14,13, −1) y por tanto, su ecuación es
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
14(X − 1) + 13(Y − 3) − (Z − 21) = 0