Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Ecuaciones diferenciales ordinarias 558
La integral I2 es impropia en +∞; teniendo en cuenta que la integral
deducimos que I2 también converge.
lím
t→+∞
1
t 1−x e t
1
e t
= lím
t→+∞
1
t1−x = 0
+∞
0
e −t dt converge y que:
Para x > 1, el teorema de integración por partes permite deducir la siguiente igualdad:
+∞
Γ(x) = t x−1 e −t
dt = −t x−1 e −t
+∞ +∞
+ t x−2 e −t dt
0
=
+∞
0
0
0
t x−2 e −t dt = (x − 1)Γ(x − 1)
Por lo tanto, Γ(x) converge si y solo si Γ(x − 1) converge. Si E denota a la función parte entera y
n = E(x), entonces se verifica que Γ(x) converge si y solo si Γ(x − n) converge, lo cual es cierto por el
punto anterior, ya que 0 < x − n < 1.
2. Según los valores de x e y la integral β(x,y) puede ser impropia en 0 y/o en 1 e incluso no ser impropia;
estudiamos entonces la convergencia distinguiendo varios casos.
β(1,1) =
1
0
dt = 1
Si x > 1 e y > 1, la integral no es impropia y la función β está bien definida por que el integrando es una
función continua.
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde