Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Optimización no-lineal 317
Problema 165 Si a, b y c son números positivos, hallar el valor máximo que puede tomar f(x,y,z) = ax+by +cz
sobre la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1.
La función lagrangiana asociada al problema es:
L(x,y,z,λ) = ax + by + cz − λ(x 2 + y 2 + z 2 − 1)
El sistema de ecuaciones que nos da los puntos críticos es
x 2 + y 2 + z 2 − 1 = 0
a − 2λx = 0
b − 2λy = 0
c − 2λz = 0
Las soluciones de este sistema son los puntos
a
−
√ a 2 + b 2 + c 2 ,
a
√ a 2 + b 2 + c 2
, −
b
√ a 2 + b 2 + c 2 ,
b
√ a 2 + b 2 + c 2
, −
c
√ a 2 + b 2 + c 2
c
√ a 2 + b 2 + c 2
con λ0 = 1
a2 + b2 + c2 2
con λ1 = − 1
2
a 2 + b 2 + c 2
(dado que λ = 0, podemos despejar de las ecuaciones 2, 3 y 4, x, y y z respectivamente en función de λ; sustituyendo
las expresiones en la primera ecuación hallamos los valores de λ y a partir de aquí se obtiene inmediatamente los
puntos.)
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde