Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

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El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 167 Problema 89 Se define el centro de curvatura C en un punto (a,b) de una curva como el extremo del vector −rn trasladado al punto (a,b), donde r es el radio de curvatura. La circunferencia de radio r centrada en C es tangente a la curva en el punto (a,b) (tiene el mismo vector tangente) y recibe el nombre de circunferencia osculatriz. Se puede demostrar que las coordenadas, (α,β) del centro de curvatura de la gráfica de una función y = f(x) dos veces derivable y de curvatura no nula en (a,b) son α = a − f ′ (a) 1 + f ′ (a) 2 f ′′ (a) 2 β = b + 1 + f ′ (a) 2 f ′′ (a) 2 Usar estas fórmulas para hallar la circunferencia osculatriz a las siguientes curvas en los puntos que se indican: y = x 2 en el punto (1,1). y = tg x en (π/4,1). x(t) = t 2 ,y(t) = t 3 en t = 1. y = x 2 en el punto (1,1); y ′ = 2x, y ′′ = 2: √ 1 + 4 5 α = 1 − 2 = 1 − 4 2 Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde β = 1 + 1 + 4 4 = 1 − √ 5 4
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 168 y = tg x en (π/4,1); y ′ = 1 + tg 2 x, y ′′ = 2tg x(1 + tg 2 x): α = π + 4 π 5 − 21 = − 4 16 4 8 β = 1 + 1 + 4 16 = 1 + 5 16 x(t) = t2 ,y(t) = t3 en t = 1; el punto es (a,b) = (1,1); eliminando el parámetro deducimos la representación cartesiana y = f(x) = x3/2 , x ≥ 0; f ′ (x) = 3 2x1/2 , f ′′ (x) = 3 4x−1/2 : α = 1 + 3 2 1 + 9 4 9 16 Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde = 26 3 β = 1 + 1 + 9 4 9 16 = 52 9
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Ejercicios resueltos de CÁLCULO Ag
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