Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Sucesiones y series numéricas 72
Problema 39 Sea {an} una sucesión de términos positivos. Probar que si
∞
an es convergente, entonces
también lo es. ¿Es cierto el resultado si la serie no es de términos positivos? ¿Es cierto el recíproco?
Dado que la serie es de términos positivos, podemos aplicar el criterio de comparación por paso al límite:
lím a2 n
an
= lím an = 0
Este límite efectivamente vale 0 por la condición necesaria. Dado que la serie asociada a la sucesión del denominador
es convergente, el criterio de comparación permite deducir que la serie asociada al numerador tambien.
∞ (−1)
El que la serie sea de términos positivos es una condición necesaria: la serie
n
√ es convergente, pero
n
∞
n=1
lo es.
(−1) n 2
√ =
n
∞
1
no lo es.
n
n=1
Por otra parte, el recíproco tampoco es cierto: la serie
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
∞
√1 n3 =
n=1
∞
n=1
n=1
n=1
2 1
4√ es convergente, pero
n3 ∞
n=1
∞
n=1
a 2 n
1
4√ n 3 no