Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

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Integración 439 f) Por tanto: ∞ 0 e −x sen xdx = − 1 2 e−x (cos x + sen x). Ya podemos estudiar la integral impropia: e −x sen xdx = − 1 = lím t→+∞ 2 e−x ∞ (cos x + sen x) 1 1 − 2 2 e−t (cos t + sen t) 0 (para justificar este límite, téngase en cuenta que lím t→+∞ e−t = 0 y (cos t + sen t) es una función acotada) π/2 0 √ cos xcotg xdx = π/2 0 cos x √ dx = 2 sen x √ π/2 sen x = 2. 0 Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde = 1 2
Integración 440 Problema 213 Considerar la región determinada por la gráfica de 1/x sobre la semirrecta x ≥ 1. ¿Tiene la región área finita? Demostrar que el sólido ilimitado obtenido al girar la región alrededor del eje OX tiene volumen finito, y calcular este volumen. ¿El sólido de volumen finito descrito en el apartado anterior tiene el área de superficie finita? El área de la región se calcula como sigue: A = Por tanto, la región no tiene área finita. El volumen del sólido así generado es: El área de la superficie es: S = +∞ 1 V = +∞ 1 +∞ 1 2π 1 1 + x 1 x4dx = +∞ 1 dx = log x = +∞ x 1 1 x2dx = − 1 +∞ = 1 x 1 +∞ (para deducir que esta integral es divergente, basta compararla con +∞ 1 Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde 1 2π √ x 4 + 1 x 3 dx = +∞ dx x que es divergente).
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