Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Integración 510
(b) Si a la región definida por 0 ≤ r ≤ a y 0 ≤ θ ≤ π
6 le quitamos aquellos punto que verifican x ≤ a/2 (que
forman un triángulo de base a/2 y altura a √ 3/2), obtenemos la región definida. Por tanto, su área es:
a
0
π/6
0
r dθ dr
−
√
3
8 a2 = π
12 a2 √
3
−
8 a2
(c) La representación del caracol puede verse en la figura 4.7; de ella se deduce que el área pedida es:
2
2π/3 a(1+2 cos θ)
0
0
π
r dr dθ − 2
2π/3
= 2
a(1+2 cos θ)
0
2π/3
(d) El área total de la lemniscata r 2 = 2a 2 cos 2θ es:
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
0
r dr dθ
a2 2 (1 + 2cos θ)2 π a
dθ − 2
2π/3
2
2 (1 + 2cos θ)2 dθ = a 2 (π + √ 27)
π
4 4
0
√ 2a2 cos 2θ π
r dr dθ = 2 42a
0
0
2 cos 2θ dθ = 2a 2