Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Integración 509
Problema 258 Hallar el área de la región plana que se indica usando integración en coordenadas polares:
(a) La región interior a una hoja de r = asen 2θ.
(b) La región del primer cuadrante acotada por x 2 + y 2 = a 2 , y = 0 y x = a/2.
(c) La región interior al bucle grande y exterior al pequeño del caracol r = a(1 + 2cos θ).
(d) El área total de la lemniscata r 2 = 2a 2 cos 2θ.
Como ya sabemos, una forma de calcular el área de una región R del plano es mediante la integral:
dxdy
Si esta misma región la tenemos definida por coordenadas polares, el área se calculará con la integral
r dr dθ,
donde R ′ representa a la región R definida por coordenadas polares
R ′
R
(a) La curva r = asen 2θ es una rosa de cuatro pétalos y el interior de la hoja del primer cuadrante está formado
por los puntos (r,θ) que verifican: 0 ≤ θ ≤ π y 0 ≤ r ≤ asen 2θ; por tanto, su área es:
π/2 asen 2θ
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
0
0
2
r dr dθ =
π/2
0
1
2 a2 sen 2 θ dθ = π
8 a2