Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Integración 525
Problema 267 Hallar el área de la porción del cilindro x 2 + z 2 = 1 que está dentro del cilindro x 2 + y 2 = 1.
El problema se puede enunciar como sigue: tenemos que calcular el área de la gráfica de f(x,y) = √ 1 − x 2 en la
región x 2 + y 2 = 1. Esto solo nos dará la mitad del área pedida en el enunciado, ya que estamos considerando solo
la raíz cuadrada positiva. El área así definida se calcula con la fórmula:
A = 1 + (D1f(x,y)) 2 + (D2f(x,y)) 2dxdy Las derivadas parciales de f son D1f(x,y) = x
√ 1−x 2 , D2f(x,y) = 0.
R
En este caso, resolvemos la integral directamente sin usar ningún cambio de variable:
A =
1 √ 1−x2 −1
− √ 1−x 2
1
1
√ dy dx = 2dx = 4
1 − x2 −1
(No hay ninguna referencia que nos diga, a priori, si es preferible usar una cambio de variable o integrar directamente
aplicando el teorema de Fubini; cuando ya se tenga práctica con el cálculo de integrales multiples, se puede realizar
mentalmente parte de los cálculos y deducir el camino menos laborioso).
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde