Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

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El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 159 Problema 83 1. Si γ: [a,b] → R 3 es una parametrización continua de una curva, deducir la fórmula para calcular su longitud. 2. Hallar la longitud de la curva (t 2 ,t 4 ) para t ∈ [0,1]. 2. La longitud es: 1 0 2 1 (2t) 2 + (4t3 ) 2 dt = 1 + z2 2 dz (z = 2t ) 2 0 1 = 4 (z1 + z2 2 + argsenh z) = 2 √ 5 + log(2 + √ 5) Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde 0
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 160 Problema 84 Hallar la longitud de la curva e t cos t √ t 3 + 1,2e t cos t √ t 3 + 1 sobre [0,1]. La curva está contenida en la recta Y = 2X. Por otra parte, la derivada de x, x ′ (t) = e t t3 + 1(cos t − sen t) + e t 3t cos t 2 2 √ t3 + 1 es positiva en el intervalo [0,1] (obsérvese que todos los sumandos son positivos en este intervalo), y en consecuencia, la función x es creciente en este intervalo. Por tanto, la curva es el segmento de la recta Y = 2X determinado por los puntos (x(0),y(0)) y (x(1),y(1)), es decir, (1,2) y (e √ 2 cos 1,e √ 2cos 1), y la longitud es la distancia entre ambos: (e √ 2 cos 1 − 1) √ 5. Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
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Ejercicios resueltos de CÁLCULO Ag
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