Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Sucesiones y series numéricas 83
4. log na es convergente, según establece el criterio del cociente (hacemos uso de los infinitos equivalentes
n!
del ejercicio 17):
5. n! a n
lím an+1
an
= lím
alog(n + 1)
(n + 1)!
n!
alog n
log(n + 1) 1
= lím = lím = 0 < 1
(n + 1)log n n + 1
n n converge si y solo si |a| < 1. Utilizamos el criterio del cociente para estudiar la convergencia absoluta:
lím |an+1|
|an|
= lím (n + 1)!|a|n+1
(n + 1) n+1
nn n!|a| n = lím |a|
n
n + 1
Por tanto, si |a| < e la serie converge; además, del cálculo anterior deducimos que
|an+1|
|an|
= |a|
n
n + 1
n
> |a|
e
y por lo tanto, si |a| > e, la serie no converge por no verificar la condición necesaria.
Finalmente, para a = ±e tampoco se verifica la condición necesaria:
6. n a
n!
lím n!en
nn = lím nne−n√2πn en nn n
= lím √ 2πn = +∞
es convergente para todo a, según establece el criterio del cociente:
lím an+1
an
= lím
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
(n + 1)a n! n + 1
(n + 1)! na = lím
n
a
= |a|
e
1
= 0 < 1
n + 1