Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Sucesiones y series funcionales 144
Problema 75 Desarrollar en serie de Fourier y = cosh αx, x ∈ [−π,π] y deducir de dicho desarrollo la suma de
la serie
∞ 1
α2 + n2, α ∈ R {0}
n=1
La función es par y por tanto, bn = 0 para todo n. Calculamos en primer lugar el coeficiente a0:
a0 = 2
π
cosh αxdx =
π 0
2
π
1
senh αx
α
Para calcular los coeficientes an con n ≥ 1, utilizamos integración por partes:
π
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
π
0
= 2
απ senhαπ
an = 2
cosh αxcos nxdx
π 0
π 2
= cosh αxsen nx −
πn 0
2α
π
senhαxsen nxdx
πn 0
= − 2α
π
senh αxsen nxdx
πn 0
π 2α
= senhαxcos nx −
πn2 0
2α2
πn2 π
cosh αxcos nxdx
0
n 2α α2
= (−1) senhαπ − an
πn2 n2