Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Ecuaciones diferenciales ordinarias 554
De donde se obtiene que:
+∞
e
0
e −2x cos axdx =
2
a 2
1 + 4
a 2
= 2
a 2 + 4
1
3. Dado que la función f(x) = es decreciente en [2,+∞) (ya que tanto la función x como la función
xlog
x
+∞ dx
log x son crecientes), la integral
e xlog x tiene el mismo carácter que la serie 1
; por el criterio de
n log n
condensación esta serie tiene el mismo carácter que 1
que es divergente.
k log 2
Vamos a estudiar directamente la convergencia a través del cálculo de la integral. El cambio de variable x = eu hace que el estudio directo sea prácticamente idéntico al realizado arriba:
+∞ dx
xlog x =
+∞ e
1
udu eu +∞ du
log eu =
1 u
La integral de la derecha no es convergente y en consecuencia la integral propuesta tampoco.
4. La integral
π
0
tg xdx es impropia en un punto intermedio del intervalo de integración, π/2. Aparentemente,
la simetría de la función tangente en el intervalo de integración respecto del punto ( π/2,0) permitiría deducir
que la integral propuesta converge a 0.
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde