Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Sucesiones y series funcionales 135
Problema 72 Para cada una de las siguientes funciones dar su desarrollo en serie de Fourier:
⎧
⎨2
− x
f(x) =
⎩x
− 6
si 0 < x < 4
;
si 4 < x < 8
⎧
⎨sen
x
g(x) =
⎩0
si 0 ≤ x ≤ π
si π < x < 2π ;
f es periódica de periodo 8:
h(x) = E[x] si x ∈ (−1,2); k(x) = 1 − x si x ∈ [0,2π)
a0 = 1
4
an = 1
4
bn = 1
4
8
0
8
f(x)dx = 1
4
4
f(x)cos nxdx =
0
1
4
= 4 4
− 2
8
0
(2 − x)dx + 1
4
4
0
8
4
(x − 6)dx = 0
(2 − x)cos nxdx + 1
4
4 4
+ = 2 2
8
4
(x − 6)cos π
4 xdx
n2π n2 4
cos nπ −
π2 n2π n2π n2π2(1 − cos nπ)
f(x)sen nxdx =
0
1
4
(2 − x)sen nxdx +
4 0
1
8
(x − 6)sen
4 4
π
4 xdx
= 2 2 2 2 2
+ cos nπ − − = (cos nπ − 1)
nπ nπ nπ nπ nπ
Por tanto, si n es par, an = 0 y bn = 0, y en consecuencia, la serie de Fourier de f es:
∞ 8
f(x) =
(2k + 1) 2 π
4 π
cos (2k + 1)x − sen (2k + 1)x
π2 4 (2k + 1)π 4
k=0
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde