Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Integración 424
Problema 205 En los siguientes apartados usar el método de las capas para hallar el volumen del sólido generado
al girar la región con los límites dados alrededor del eje indicado:
a) Limitada por y = x 2 ,y = 1 alrededor de la recta x = 2.
b) Limitada por y = x,y = x 2 alrededor del eje OX.
c) Limitada por x = y 2 ,x = y + 2 alrededor de la recta y = 2.
d) Limitada por y = senx para 0 ≤ x ≤ π,y = 0 alrededor de la recta x = 2π.
a) Limitada por y = x 2 ,y = 1 alrededor de la recta x = 2: los puntos de corte de las curvas son x = −1 y x = 1.
El sólido así generado es el mismo que el generado al girar la región limitada por la curva y = 1 − (x − 2) 2 y
el eje OX alrededor del eje OY ; por tanto, su volumen es:
V =
3
1
2πx(1 − (x − 2) 2 )dx = 8
3 π
b) Limitada por y = x,y = x2 alrededor del eje OX: los puntos de corte de las curvas son x = 0, x = 1. El sólido
así generado coincide con el generado al girar la región comprendida entre y = √ x e y = x alrededor del eje
OY (hacemos esto para utilizar el método de las capas). El volumen pedido es:
V =
1
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
0
2πx √ xdx −
1
0
2πx 2 dx = 2
15 π