Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Optimización no-lineal 291
Problema 152 En los siguientes apartados, hallar los máximos y mínimos absolutos de las funciones en los dominios
dados:
(a) P(x,y) = x 2 −xy +y 2 +1 en la región triangular cerrada en el primer cuadrante acotada por las rectas x = 0,
y = 4, y = x.
(b) T(x,y) = x 2 + xy + y 2 − 6x en la placa rectangular 0 ≤ x ≤ 5, −3 ≤ y ≤ 3.
(c) f(x,y) = 48xy − 32x 3 − 24y 2 en la placa rectangular 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.
(a) La función P no tiene puntos críticos en el interior de la región, ya que las derivadas parciales:
D1P(x,y) = 2x − y D2P(x,y) = −x + 2y
solo se anulan en el punto (0,0) que se encuentra en el borde de la misma.
El borde de la placa está formado por los siguientes segmentos:
S1 = (0,0)(0,4) S2 = (0,4)(4,4) S3 = (4,4)(0,0)
La función P sobre cada uno de estos segmentos viene dada por:
P1(t) = P(0,t) = t 2 + 1 t ∈ (0,4)
P2(t) = P(t,4) = t 2 − 4t + 17 t ∈ (0,4)
P3(t) = P(t,t) = t 2 + 1 t ∈ (0,4)
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde