Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Cálculo en varias variables 250
Problema 126 En los siguientes apartados, hallar la dirección en la cual f decrece más rápidamente en P0, y la
razón de cambio de f en esa dirección:
a) f(x,y) = x 2 + xy + y 2 , P0(−1,1)
b) f(x,y,z) = z log (x 2 + y 2 ), P0(1,1,1)
Recordemos que la dirección en la cual f decrece más rápidamente es la dada por el vector −∇f, y además, la
tasa de cambio en esa dirección es −∇f.
a) f(x,y) = x 2 + xy + y 2 , P0(−1,1)
D1f(x,y) = 2x + y D2f(x,y) = x + 2y − ∇f(−1,1) = (1, −1)
Si u es el vector unitario en la dirección de −∇f(−1,1), la tasa de cambio en esta dirección es:
b) f(x,y,z) = z log (x 2 + y 2 ), P0(1,1,1)
Duf(−1,1) = −∇f(−1,1) = − √ 2
D1f(x,y,z) = 2zx
x 2 + y 2 D2f(x,y,z) = 2zy
x 2 + y 2
D3f(x,y,z) = log (x 2 + y 2 ) − ∇f(1,1,1) = (1,1,log 2)
Si u es el vector unitario en la dirección de −∇f(−1,1), la tasa de cambio en esta dirección es:
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
Duf(1,1,1) = −∇f(1,1,1) = − 2 + (log 2) 2