Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

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Integración 419 Problema 201 Se corta una cuña de un tronco (cilíndrico) de radio 2 dm dando dos cortes con una sierra mecánica que llegan hasta el centro del tronco. Si uno de los cortes se hace perpendicular y el otro formando un ángulo de 30 ◦ con el primero, ¿qué volumen tendrá la cuña? X y = √ 4 − x 30 √ 4 − x2 ◦ 2 Y √ 3 √ 4 − x 2 Situando el sólido como se muestra en la figura, tenemos que el área de cada sección perpendicular al eje OX es A(x) = √ 3 2 (4 − x2 ), y por tanto, el volumen de la cuña es: V = 2 −2 A = 2 Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde −2 √ 3 2 (4 − x2 )dx = 8 √ 3dm 2
Integración 420 Problema 202 Se va a diseñar un contenedor de papel para reciclar con la forma de una pirámide truncada, en la que las bases inferior y superior son cuadrados de lado 100 y 60 cm, respectivamente. ¿Qué altura debe tener el contenedor para que su volumen sea exactamente un metro cúbico? 100 Y x y = 100 − Situamos el contenedor como se muestra en la figura, de forma que el eje de la piramide coincide con el eje OX y cada sección perpendicular a este eje es un cuadrado. Si la altura del tronco es h, su volumen es: V = h 0 h 60 40 h (100 − 40 h x)2 dx = 19600 3 hcm3 Por tanto, la altura buscada es solución de la ecuación: 19600 7500 3 h = 1000000, es decir, h = 49 Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde X x
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