Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Integración 503
Problema 256 Sea f(x,y) = 1, sean D = [0,3]×[0,1] y D ′ = [0,1]×[0,1] y sea T(u,v) = (−u 2 +4u,v). Comprobar
que T transforma D ′ sobre D y que
D
f(x,y)dxdy =
Dado que la función f es constantemente 1, tenemos que:
D
D ′
f(x,y)dxdy =
f x(u,v),y(u,v)
dudv =
D
D ′
dxdy = (área de D) = 3
D ′
f x(u,v),y(u,v) dudv
dudv = (área de D ′ ) = 1
Por tanto, efectivamente, las dos integrales son distintas. Para completar el ejercicio, tenemos que comprobar que
la aplicación T transforma D ′ en D.
Dado que y(u,v) = v, es evidente que
Por otra parte:
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
v ∈ [0,1] ↔ y(u,v) ∈ [0,1].
u ∈ [0,1] ↔ 4 − u ∈ [0,3] =⇒ x(u,v) = u(4 − u) ∈ [0,3]