Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

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Integración 463 Problema 230 Determínese el centroide de la región del primer cuadrante acotada por dos círculos concéntricos y los ejes coordenados, si los primeros tienen radios a y b, b > a > 0, y sus centros están en el origen. Hállense también los límites de las coordenadas del centroide cuando ‘a’ tiende a ‘b’, y analícese el significado del resultado. Por la simetría del sector de la corona, se deduce que los dos momentos son iguales: My = Mx = 1 2 b 0 A = π 4 b2 − a 2 ¯x = ¯y = 4 3π (b 2 − x 2 )dx − 1 2 b 2 + ab + a 2 b + a a 0 (a 2 − x 2 )dx = b3 3 Si ahora hallamos el límite de las coordenadas ¯x y ¯y cuando ‘a’ tiende a ‘b’, obtendremos el centro de masas del arco de circunferencia: x ′ = y ′ 4 b = lím a→b 3π 2 + ab + a2 = b + a 2a π Obsérvese que este centroide es exterior a la curva. Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde − a3 3
Integración 464 Problema 231 Utilícense los teoremas de Pappus para encontrar el área de la superficie lateral y el volumen de un cono circular recto. Un cono circular recto de altura h y radio de la base r, se genera girando un triángulo rectángulo de catetos h y r respecto del cateto de longitud h. Por las propiedades básicas de los triángulos sabemos que la distancia del centroide del triángulo, al cateto h es r/3 y su área es rh 2 ; por tanto, su volumen es: V = 2π r rh π = 3 2 3 r2h La superficie lateral está calculada por este método en el ejercicio 18. Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
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Ejercicios resueltos de CÁLCULO Ag
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